第一章：提供推荐 #
欧几里得距离 #
欧氏距离是平方和的开方，欧氏距离越小，则两个向量的相似度越大。
$$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$
对于两个 n 维向量 $\mathbf{A} = (a_1, a_2, …, a_n)$ 和 $\mathbf{B} = (b_1, b_2, …, b_n)$，它们之间的欧氏距离 $d$ 可以表示为：
$$d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i - b_i)^2}$$
曼哈顿距离 #
又称城市街区距离（City Block Distance），曼哈顿距离是两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。
$$D = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$$
同样，对于这两个 n 维向量 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，它们之间的曼哈顿距离 $D$ 可以表示为：
$$D(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sum_{i=1}^{n}|a_i - b_i|$$
曼哈顿距离与欧氏距离的区别：曼哈顿距离强调城市街区似的行和列的和的距离，欧氏距离强调直线距离。
皮尔逊相关系数 #
皮尔逊相关系数（Pearson product-moment correlation coefficient，PPMCC），也称为皮尔逊积矩相关系数，是用于衡量两个变量之间线性关系强度的统计指标。它的值介于 -1 和 1 之间，其中：
- 1 表示完全正相关：一个变量增加时，另一个变量也会以固定比率增加。
- -1 表示完全负相关：一个变量增加时，另一个变量会以固定比率减少。
- 0 表示没有线性相关：两个变量之间没有线性关系。
皮尔逊相关系数的计算公式是：
$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y})^2}}$$
这里：
- $X_i$ 和 $Y_i$ 是两个变量的观测值。
- $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 是这两个变量的平均值。
- $n$ 是观测值的数量。
皮尔逊相关系数广泛用于各种领域，包括心理学、社会科学、生物学和金融学，用于研究两个变量之间的线性关系。它是最常用的相关性度量之一。
注意事项：
- 皮尔逊相关系数只能衡量线性关系的强度，不能表明因果关系。
- 对于非线性关系，这个系数可能无法正确反映变量之间的关系。
- 异常值可能对皮尔逊相关系数产生较大影响。
杰卡德系数 #
杰卡德系数（Jaccard Coefficient），也称为杰卡德相似性系数，是用来衡量两个集合之间相似性和差异性的统计指标。这个系数的值介于 0 和 1 之间，其中 0 表示没有相似性，1 表示完全相同。
杰卡德系数的计算公式如下：
$$J(A, B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}$$
这里：
- $A$ 和 $B$ 是两个集合。
- $|A \cap B|$ 是集合 A 和集合 B 的交集元素个数。
- $|A \cup B|$ 是集合 A 和集合 B 的并集元素个数。
例如，假设有两个集合：
- 集合 A = {1, 2, 3}
- 集合 B = {2, 3, 4}
那么，它们的交集 $A \cap B$ = {2, 3}，并集 $A \cup B$ = {1, 2, 3, 4}。因此，杰卡德系数计算为：
$$J(A, B) = \frac{|{2, 3}|}{|{1, 2, 3, 4}|} = \frac{2}{4} = 0.5$$
这意味着集合 A 和集合 B 有 50% 的相似度。
杰卡德系数广泛用于生态学、计算机科学（特别是在文本相似性和机器学习领域）、信息检索等多个领域。在文本分析中，它可以用来衡量两个文本或文档的相似性。在生物多样性研究中，它可以用来衡量两个生态群落的相似性。
基于何种维度的相似度比较 #
通常来说，存在基于用户的协作型过滤和基于物品的协作型过滤。一方面如果有上百万的用户，那么基于用户的协作性过滤的计算速度是无法忍受的，而物品间的比较不会像用户间的比较那么频繁，意味着可以持久化到数据库里，即可以显著提高推荐接口的响应速度。