数学基础 — 线性代数

参考 #

基本概念 #

向量(vector) #

向量是数学、物理学和工程学中的一个基本概念,它表示具有大小和方向的量。向量可以用来表示力、速度、加速度等物理量。在数学中,向量既可以在几何上表示,也可以通过坐标系以数值形式表示。标量(scalar)指没有方向的量,和向量相区别。

向量支持四则运算方法。向量的基本性质:

  • 大小(模):向量的大小或模是指向量的长度,通常用符号 $|\vec{v}|$ 表示。对于二维向量 $\vec{v} = (x, y)$,其模可以通过勾股定理计算:$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。
  • 方向:向量的方向是指向量所指的方向,可以通过向量与坐标轴的夹角来描述。
  • 零向量:零向量是一个特殊的向量,其大小为零,没有确定的方向。在坐标表示中,零向量表示为所有分量都为零的向量,如 ((0, 0)) 或 ((0, 0, 0))。
  • 单位向量:单位向量是大小(模)为 1 的向量。单位向量通常用来表示方向。

比如这是一个二维向量 $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

这是一个三维向量 $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

向量空间 #

矩阵 #

这是一个三阶矩阵:$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ \end{pmatrix}$

行列式 #

矩阵的转置 #

假设有一个矩阵 (A) 如下:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$$

矩阵 $A$ 的转置 $A^T$ 是:

$$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$

在这个例子中,$A$ 是一个 $3 \times 2$ 矩阵,而 $A^T$ 是一个 $2 \times 3$ 矩阵,原矩阵的行变成了转置矩阵的列,原矩阵的列变成了转置矩阵的行。

分块矩阵 #

矩阵的映射 #

矩阵运算 #

向量加法 #

假设我们有两个 $2 \times 2$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 如下:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

那么,矩阵 (A) 和矩阵 (B) 相加的结果 (C) 是:

$C = A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

这就是矩阵加法的基本运算过程。

矩阵与常数的乘积 #

矩阵与 n 维向量的乘积 #

矩阵与矩阵的乘积 #

内积与外积

矩阵的乘方 #

#

逆矩阵 #

良性问题(可逆矩阵) #

恶性问题 #

LU 分解 #

特征值和特征向量 #

本文共 761 字,上次修改于 Jul 9, 2024
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