参考 #
基本概念 #
向量（vector） #
向量是数学、物理学和工程学中的一个基本概念，它表示具有大小和方向的量。向量可以用来表示力、速度、加速度等物理量。在数学中，向量既可以在几何上表示，也可以通过坐标系以数值形式表示。标量（scalar）指没有方向的量，和向量相区别。
向量支持四则运算方法。向量的基本性质：
- 大小（模）：向量的大小或模是指向量的长度，通常用符号 $|\vec{v}|$ 表示。对于二维向量 $\vec{v} = (x, y)$，其模可以通过勾股定理计算：$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。
- 方向：向量的方向是指向量所指的方向，可以通过向量与坐标轴的夹角来描述。
- 零向量：零向量是一个特殊的向量，其大小为零，没有确定的方向。在坐标表示中，零向量表示为所有分量都为零的向量，如 ((0, 0)) 或 ((0, 0, 0))。
- 单位向量：单位向量是大小（模）为 1 的向量。单位向量通常用来表示方向。
比如这是一个二维向量 $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
这是一个三维向量 $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
向量空间 #
矩阵 #
这是一个三阶矩阵：$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ \end{pmatrix}$
行列式 #
矩阵的转置 #
假设有一个矩阵 (A) 如下：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$$
矩阵 $A$ 的转置 $A^T$ 是：
$$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$
在这个例子中，$A$ 是一个 $3 \times 2$ 矩阵，而 $A^T$ 是一个 $2 \times 3$ 矩阵，原矩阵的行变成了转置矩阵的列，原矩阵的列变成了转置矩阵的行。
分块矩阵 #
矩阵的映射 #
矩阵运算 #
向量加法 #
假设我们有两个 $2 \times 2$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 如下：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$
那么，矩阵 (A) 和矩阵 (B) 相加的结果 (C) 是：
$C = A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$
这就是矩阵加法的基本运算过程。
矩阵与常数的乘积 #
矩阵与 n 维向量的乘积 #
矩阵与矩阵的乘积 #
内积与外积